帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m,n,函数f（x）在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R（x）=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn，且满足：f（0）=R（0），f'（0）=R'（0），f″（0）=R″（0）…，f（m+n）（0）=R（m+n）（0）．已知f（x）=ln（x+1）在x=0处的[1，1]阶帕德近似为R（x）=ax1+bx．
注：f″（x）=[f'（x）]′，f″'（x）=[f″（x）]′，f（4）（x）=[f″'（x）]′，f（5）（x）=[f（4）（x）]′，…
（1）求实数a,b的值；
（2）求证：（x+b）f（1x）＞1；
（3）求不等式（1+1x）x＜e＜（1+1x）x+12的解集，其中e=2.71828⋯．
R
（
x
）
=
a
0
+
a
1
x
+
⋯
+
a
m
x
m
1
+
b
1
x
+
⋯
+
b
n
x
n
R
（
x
）
=
ax
1
+
bx
（
x
+
b
）
f
（
1
x
）
＞
1
（
1
+
1
x
）
x
＜
e
＜
（
1
+
1
x
）
x
+
1
2
【考点】基本初等函数的导数．
【答案】（1）a=1，b=；
（2）证明过程见解析；
（3）（0，+∞）．
1
2
（2）证明过程见解析；
（3）（0，+∞）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/7 8:0:9组卷：216引用：9难度：0.2
