“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：PAPB=ACBC．
PA
PB
=
AC
BC
| 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”． |
【理解应用】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC=1，AB=2，则DE的长为
5
3
5
3
【深度思考】
（3）如图③，△ABC中，AB=6，AC=4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD=3时，AF的长为
6
6
．【拓展升华】
（4）如图④，PC是△PAB的角平分线，若AC=3，BC=1，则△PAB的面积最大值是
3
3
．【考点】相似形综合题．
【答案】；6；3
5
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/5 8:0:7组卷：799引用：4难度：0.5
相似题
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1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=40cm,BC=30cm.现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动：动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是8cm/s,点Q的速度是4cm/s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t=3时，P、Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？发布：2025/5/24 11:0:1组卷：123引用：2难度：0.2 -
2．如图1，已知菱形ABCD，点E在边BC上，∠BFE=∠ABC，AE交对角线BD于点F．
（1）求证：△ABF∽△DBA；
（2）如图2，联结CF．
①当△CEF为直角三角形时，求∠ABC的大小；
②如图3，联结DE．当DE⊥FC时，求cos∠ABD的值．
发布：2025/5/24 10:0:2组卷：681引用：1难度：0.2 -
3．（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，填空：的值为；∠AMB的度数为，ACBD
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．ACBD
发布：2025/5/24 12:30:1组卷：917引用：7难度：0.3
