已知抛物线y=-x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点H（n,t）为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为H1，当点H1落在第二象限内，H1A2取得最小值时，求n的值．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+2x+3，（1，4）；
（2）△PAC的面积最大值为，此时P（，）；
（3）1+．
（2）△PAC的面积最大值为
27
8
1
2
15
4
（3）1+
14
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：910引用：9难度：0.3
相似题
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1．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A、B（点B在点A左侧），与y轴相交于点C（0，3）．已知点A坐标为（1，0），△ABC面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E，过点P作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/4 17:30:2组卷：486引用：3难度：0.4 -
2．如图，抛物线y=a（x+1）（x-3）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于C点，已知S△ABC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC下方的抛物线上取一点P，连接AP交BC于E点，当tan∠AEC=4时，求点P的坐标；
（3）点M、N均在抛物线上，设点M的横坐标为m,点N的横坐标为n,（0＜n＜m＜3），连接MN，连接AM、AN分别与y轴交于点S、T，∠AMN=2∠BAM，请问3OS+ST是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．发布：2025/6/4 17:30:2组卷：236引用：1难度：0.1 -
3．已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E（0，n）．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（m+1，m+3），N（m+1，m），P（m+5，m），Q（m+5，m+3）．
（1）填空：a=，b=；
（2）若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y=有且只有一个交点，求n2的最大值；kx
（3）当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx-2都有交点时，存在直线l,对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax2+bx-2的交点的纵坐标．
①当m=-3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．
发布：2025/6/5 8:30:1组卷：1460引用：3难度：0.1
