问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD的边BC上找一点E，将矩形沿直线DE折叠，点C的对应点为C′，再在AB上找一点F，将矩形沿直线DF折叠，使点A的对应点A′落在DC上，则∠EDF=45°45°．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是矩形ABCD边AB上一点，连接PD、PC，将△ADP、△BCP分别沿PD、PC翻折，得到△A′DP、△B′PC，当P、A′、B′三点共线时，则称P为AB边上的“优叠点”，求此时AP的长度．
问题解决
（3）如图③，矩形ABCD位于平面直角坐标系中，AD=4，AD＜AB，点A在原点，B，D分别在x轴与y轴上，点E和点F分别是CD和BC边上的动点，运动过程中始终保持DE+BF=4．当点P是AB边上唯一的“优叠点”时，连接PE交BD于点M，连接PF交BD于点N，请问DM+BN是否能取得最大值？如果能，请确定此时点M的位置（即求出点M的坐标）及四边形ADEP的面积，若不能，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【答案】45°
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/23 8:30:2组卷：691引用：1难度：0.1
相似题
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1．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片ABCD的边AD上一动点，将正方形沿着CE折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线AB于点P．
判断：根据以上操作，图1中AP与EF的数量关系：；
（2）迁移探究
在（1）条件下，若点E是AD的中点，如图2，延长CF交AB于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段BQ的长度；如果不确定，说明理由；
（3）拓展应用
在（1）条件下，如图3，CE，DF交于点G，取CG的中点H，连接BH，则BH的最小值是 ．发布：2025/5/23 15:0:2组卷：800引用：7难度：0.1 -
2．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点A关于直线BE的对称点为点F，连接AF，CF．设∠ABE=α，
（1）试用含α的代数式表示∠DCF；
（2）作CG⊥AF，垂足为G，点G在AF的延长线上，连接DG，试判断DG与CF的位置关系，并加以证明；
（3）把△ABE绕点B顺时针旋转90°，点E的对应点为点H，连接BF，HF，若△HBF是等腰三角形，求sinα的值．发布：2025/5/23 15:0:2组卷：249引用：2难度：0.3 -
3．综合与实践
新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
（1）【初步尝试】：如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，P为AC上一点，当AP=时，△ABP与△CBP为积等三角形；
（2）【理解运用】：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=3，AC=5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长；
（3）【综合应用】：如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，求证：△AEG与△ABC为积等三角形．
发布：2025/5/23 15:0:2组卷：278引用：3难度：0.1
