设直线x=m（m＞0）与双曲线C：x2-y23=m的两条渐近线分别交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为3．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，F为C的右焦点，若M'，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
x
2
-
y
2
3
=
m
3
【考点】直线与双曲线的综合．
【答案】（Ⅰ）m=1；
（Ⅱ）证明：由（I）知C：，则F的坐标为（2，0），
设l与x轴交于点（p，0），则l的方程为y=k（x-p）（k≠0），
设M（x1，y1），N（x2，y2）．则M′（x1，-y1），
联立
，得（3-k2）x2+2pk2x-（k2p2+3）=0，
由题可知3-k2≠0，所以，
因为M'，F，N三点共线，所以kWF=kFV，
即，即-y1（x2-2）=y2（x1-2），
所以-k（x1-p）（x2-2）=k（x2-p）（x1-2），
因为k≠0，所以（x1-p）（x2-2）+（x2-p）（x1-2）=0，
所以2x1x2-（p+2）（x1+x2）+4p=0，
所以，化简得，
所以直线l经过x轴上的定点．
（Ⅱ）证明：由（I）知C：
x
2
-
y
2
3
=
1
设l与x轴交于点（p，0），则l的方程为y=k（x-p）（k≠0），
设M（x1，y1），N（x2，y2）．则M′（x1，-y1），
联立
y = k （ x - p ） |
x 2 - y 2 3 = 1 |
由题可知3-k2≠0，所以
x
1
+
x
2
=
2
p
k
2
k
2
-
3
，
x
1
x
2
=
k
2
p
2
+
3
k
2
-
3
因为M'，F，N三点共线，所以kWF=kFV，
即
-
y
1
x
1
-
2
=
y
2
x
2
-
2
所以-k（x1-p）（x2-2）=k（x2-p）（x1-2），
因为k≠0，所以（x1-p）（x2-2）+（x2-p）（x1-2）=0，
所以2x1x2-（p+2）（x1+x2）+4p=0，
所以
2
•
k
2
p
2
+
3
k
2
-
3
-
（
p
+
2
）
•
2
p
k
2
k
2
-
3
+
4
p
=
0
p
=
1
2
所以直线l经过x轴上的定点
（
1
2
，
0
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：56引用：1难度：0.5
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