已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线y2=4x的准线上，且椭圆C过点P（1，32），直线与椭圆C交于A，B两个不同点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线的斜率为12，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．
P
（
1
，
3
2
）
1
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：∵直线的斜率为，且不过点，∴可设直线．
联立方程组
，消y得x2+mx+m2-3=0．又设A（x1，y1），B（x2，y2），
故有
，
所以
=
=
=，所以k1+k2为定值0．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）证明：∵直线的斜率为
1
2
P
（
1
，
3
2
）
l
：
y
=
1
2
x
+
m
（
m
≠
1
）
联立方程组
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = 1 2 x + m |
故有
Δ = m 2 - 4 （ m 2 - 3 ） ＞ 0 |
x 1 + x 2 = - m |
x 1 x 2 = m 2 - 3 |
所以
k
1
+
k
2
=
y
1
-
3
2
x
1
-
1
+
y
2
-
3
2
x
2
-
1
=
（
y
1
-
3
2
）
（
x
2
-
1
）
+
（
y
2
-
3
2
）
（
x
1
-
1
）
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
1
）
=
（
1
2
x
1
+
m
-
3
2
）
（
x
2
-
1
）
+
（
1
2
x
2
+
m
-
3
2
）
（
x
1
-
1
）
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
1
）
=
x
1
x
2
+
（
m
-
2
）
（
x
1
+
x
2
）
-
2
m
+
3
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
=
m
2
-
3
+
（
m
-
2
）
（
-
m
）
-
2
m
+
3
m
2
-
3
-
（
-
m
）
+
1
=
0
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：154引用：4难度：0.1
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