| 倍长中线（Method of times the length of line） 倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系． |
（1）问题发现
如图1，点E在BC上，BE：CE=1：2，BD与AE相交于点P，延长BD至点F，使得BD=DF，连接AF，求
AP
PE
王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程．
| 解：设BE=k,则CE= 2k 2k ；∵BD是AC边上的中线， ∴AD=CD； ∵在△BCD和△FAD中，
∴△BCD≌△FAD（ SAS SAS ）∴ ∠CBD ∠CBD =∠AFD ∠AFD ，∴BC∥FA；∴BC=FA=3k； 又∵BC∥FA， ∴△BPE∽△FPA； ∴ AP PE = AF BE 3 3 ． |
如图2，点E在BC的延长线上，AE与BD的延长线交于点P，CE：BC=1：3，求
AP
PE
（3）拓展延伸
在（2）的探究结论下，若BC=4，AC=6，求BP的长．
【考点】相似形综合题．
【答案】2k；SAS；∠CBD；∠AFD；3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：285引用：2难度：0.3
相似题
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1．【感知】
小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：
小明同学分析后发现，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，再结合已知条件可以得到△ABD∽△DCE．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作∠ADE=∠B，交AC于点E．求证：△ABD∽△DCE．
【探究】
在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D为BC上一点．
（1）如图②，过点D作∠ADE=∠B，交AC于点E．当DE∥AB时，AD的长为 ．
（2）如图③，过点D作∠FDE=∠B，分别交AB、AC于点F、E．当CD=4时，BF的长的取值范围为 ．
发布：2025/6/14 15:30:1组卷：349引用：5难度：0.3 -
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,动点P从点C出发沿着C-B-A的方向以2cm/s的速度向终点A运动，另一动点Q同时从点A出发沿着AC方向以1cm/s的速度向终点C运动，P、Q两点同时到达各自的终点，设运动时间为t（s）．△APQ的面积为S cm2．
（1）求BC的长；
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和△ABC相似？发布：2025/6/14 19:0:1组卷：227引用：5难度：0.4 -
3．在四边形ABCD中，∠EAF=
∠BAD（E、F分别为边BC、CD上的动点），AF的延长线交BC延长线于点M，AE的延长线交DC延长线于点N．12
（1）如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN∽△MCA；
（2）如图②，若四边形ABCD是菱形．
①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
②若AB=8，AC=4，连接MN，当MN=MA时，求CE的长．
发布：2025/6/14 19:0:1组卷：1404引用：3难度：0.1
