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观察以下等式：第1个等式：
1
1
+
2
3
+
2
×
1
1
×
2
3
=
3
=
3
1
；第2个等式：
1
2
+
2
4
+
2
×
1
2
×
2
4
=
3
2
；第3个等式：
1
3
+
2
5
+
2
×
1
3
×
2
5
=
3
3
；第4个等式：
1
4
+
2
6
+
2
×
1
4
×
2
6
=
3
4
；……；按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．

【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．

【答案】（1）

；
（2）猜想：

，见解答过程．

【解答】

【点评】

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发布：2025/5/24 23:0:1组卷：97引用：3难度：0.7

相似题

1．观察下列按顺序排列的等式：
a
1
=
1
-
1
3
，
a
2
=
1
2
-
1
4
，
a
3
=
1
3
-
1
5
，
a
4
=
1
4
-
1
6
，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a_n=

．
发布：2025/5/25 1:0:1组卷：393引用：52难度：0.7
解析
2．猜想与证明：
观察下列各个等式的规律：
第一个等式：
1
1
×
2
=
1
-
1
2
；
第二个等式：
1
2
×
3
=
1
2
-
1
3
；
第三个等式：
1
3
×
4
=
1
3
-
1
4
；
第四个等式：
1
4
×
5
=
1
4
-
1
5
；
……
请用上述等式反映出的规律猜想并证明：
（1）直接写出第五个等式；
（2）问题解决：猜想第n个等式（n≥1，用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的；
（3）一个容器装有11水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出
1
2
L水，第2次倒出的水量是
1
2
L水的
1
3
，第3次倒出的水量是
1
3
L水的
1
4
，第4次倒出的水量是
1
4
L水的
1
5
，……第n次倒出的水量是
1
n
L水的
1
n
+
1
，…按照这种倒水的方法，求倒n次水倒出的总水量．
发布：2025/5/24 20:30:2组卷：87引用：1难度：0.6
解析
3．观察下列关于自然数的等式：
3×1×2=1×2×3-0×1×2，①
3×2×3=2×3×4-1×2×3，②
3×3×4=3×4×5-2×3×4，③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：3×4×5=
；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
（3）根据你发现的规律，可知1×2+2×3+3×4+…+99×100=
．（直接写出结果即可）
发布：2025/5/24 18:0:1组卷：283引用：5难度：0.5
解析

1．观察下列按顺序排列的等式：a1=1-13，a2=12-14，a3=13-15，a4=14-16，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：an= ．

1．观察下列按顺序排列的等式：
a
1
=
1
-
1
3
，
a
2
=
1
2
-
1
4
，
a
3
=
1
3
-
1
5
，
a
4
=
1
4
-
1
6
，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a_n=

．