已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜-12；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0．证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．
x
2
4
y
2
3
1
2
FP
FA
FB
0
FA
FP
FB
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x1+x2=2，y1+y2=2m
将A，B代入椭圆C：+=1中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，
即6（x1-x2）+8m（y1-y2）=0，
∴k==-=-
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴．①
（2）或-．
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x1+x2=2，y1+y2=2m
将A，B代入椭圆C：
x
2
4
y
2
3
3 x 2 1 + 4 y 2 1 = 12 |
3 x 2 2 + 4 y 2 2 = 12 |
两式相减可得，3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，
即6（x1-x2）+8m（y1-y2）=0，
∴k=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
6
8
m
3
4
m
点M（1，m）在椭圆内，即
1
4
+
m
2
3
＜
1
，
（
m
＞
0
）
解得0＜m
＜
3
2
∴
k
=
-
3
4
m
＜
-
1
2
（2）
3
21
28
3
21
28
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：6208引用：8难度：0.5
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