已知Γ：x22+y2=1，F1，F2是其左、右焦点，直线l过点P（m,0）（m≤-2），交椭圆于A，B两点，且A，B在x轴上方，点A在线段BP上．
（1）若B是上顶点，|BF1|=|PF1|，求m的值；
（2）若F1A•F2A=13，且原点O到直线l的距离为41515，求直线l的方程；
（3）证明：对于任意m＜-2，使得F1A∥F2B的直线有且仅有一条．
x
2
2
2
B
F
1
P
F
1
F
1
A
F
2
A
1
3
4
15
15
2
F
1
A
F
2
B
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明：联立方程组
，可得（1+2k2）x2-4k2mx+2k2m2-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
因为∥，
所以（x2-1）y1=（x1+1）y2，又y=kx-km，
故化简为，
又=，
两边同时平方可得，4k2-2k2m2+1=0，
整理可得，
当m＜时，＞0，
因为点A，B在x轴上方，
所以k有且仅有一个解，
故对于任意m＜-，使得∥的直线有且仅有一条．
-
1
-
2
（2）
y
=
1
3
x
+
4
6
9
（3）证明：联立方程组
y = kx - km |
x 2 2 + y 2 = 1 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
x
1
+
x
2
=
4
k
2
m
1
+
2
k
2
，
x
1
x
2
=
2
k
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
因为
F
1
A
F
2
B
所以（x2-1）y1=（x1+1）y2，又y=kx-km，
故化简为
x
1
-
x
2
=
-
2
1
+
2
k
2
又
|
x
1
-
x
2
|
=
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
16
k
2
-
8
k
2
m
2
+
8
1
+
2
k
2
=
|
-
2
1
+
2
k
2
|
两边同时平方可得，4k2-2k2m2+1=0，
整理可得
k
2
=
-
1
4
-
2
m
2
当m＜
-
2
k
2
=
-
1
4
-
2
m
2
因为点A，B在x轴上方，
所以k有且仅有一个解，
故对于任意m＜-
2
F
1
A
F
2
B
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：2236引用：2难度：0.3
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