已知函数F（x）=
lnx
x
-
1
-
a
x
+
1
．
（Ⅰ）设函数h（x）=（x-1）F（x），当a=2时，证明：当x＞1时，h（x）＞0；
（Ⅱ）若F（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a使F（x）有两个不同的零点x₁，x₂，证明：2
a
2
-
2
a
＜|x₂-x₁|＜e^a-e^-a．

【答案】（Ⅰ）详见证明过程；（Ⅱ）a≤2；（Ⅲ）详见证明过程．

【解答】

【点评】

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发布：2024/9/10 0:0:8组卷：175引用：2难度：0.3

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析
3．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
解析

已知函数F（x）=lnxx-1-ax+1．（Ⅰ）设函数h（x）=（x-1）F（x），当a=2时，证明：当x＞1时，h（x）＞0；（Ⅱ）若F（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a使F（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：2a2-2a＜|x2-x1|＜ea-e-a．