如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．
（1）求证：BD=CD．
（2）若⊙O与AC相切，求∠B的度数．
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧ˆAD的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）
ˆ
AD
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）见解答过程；
（2）45°；
（3）见解答过程．
（2）45°；
（3）见解答过程．
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/22 16:30:1组卷：1387引用：8难度：0.6
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1．【综合与实践】我国海域的岛屿资源相当丰富，总面积达72800多平方公里，有人居住的岛屿达450个．位于北部湾的某小岛，外形酷似橄榄球，如图1所示．
如图2所示，现把海岸线近似看作直线m,小岛面对海岸线一侧的外缘近似看作AB，经测量，AB的长可近似为250π海里，它所对的圆心角（∠AOB）的大小可近似为90°．（注：AB在m上的正投影为图中线段CD，点O在m上的正投影落在线段CD上．）
（1）求的半径r；ˆAB
（2）因该岛四面环海，淡水资源缺乏，为解决岛上居民饮用淡水难的问题，拟在海岸线上，建造一个淡水补给站，向岛上居民输送淡水．为节约运输成本，要求补给站到小岛外缘AB的距离最近（即，要求补给站与上的任意一点，两点之间的距离取得最小值．）；ˆAB
请你依据所学几何知识，在图2中画出补给站位置及最短运输路线．（保留画图痕迹，并做必要标记与注明；不限于尺规作图，不要求证明．）
（3）如图3，若测得AC长为600海里，BD长为500海里，试求出（2）中的最小距离．发布：2025/5/22 20:30:1组卷：763引用：1难度：0.4 -
2．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC=S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形．
②梯形是倍分四边形．
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB=3，AD=DC=5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA=BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF=3，求DE．
发布：2025/5/22 21:0:1组卷：1287引用：3难度：0.1 -
3．在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB，点P和图形G定义如下：线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A'B'（A'和B'分别是A和B的对应点），若线段AB和A'B'均在图形G的内部（包括边界），则称图形G为线段AB关于点P的旋垂闭图．
（1）如图，点C（1，0），D（3，0）．
①已知图形G1：半径为3的⊙O；
G2：以O为中心且边长为6的正方形；
G3：以线段OD为边的等边三角形．
在G1，G2，G3中，线段CD关于点O的旋垂闭图是 ．
②若半径为5的⊙O是线段CD关于点T（t,0）的旋垂闭图，求t的取值范围；
（2）已知长度为4的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点Q（2+a,2-a），使得对半径为2的⊙Q上任意一点P，都有线段AB满足半径为r的⊙O是该线段关于点P的旋垂闭图，直接写出r的取值范围．
发布：2025/5/22 21:0:1组卷：275引用：6难度：0.3
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