对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们称函数y=ax2+bx+c-1（x≥m） -12ax2-12bx-12c+1（x＜m）
为它的“和谐函数”（其中m为常数）．设函数y=-x2-2mx+2m的“和谐函数”图象为G．
（1）直接写出图象G的函数表达式．
（2）若点（2，3）在函数图象上，求m的值．
（3）当x≥m时，已知点A（-m-1，y1）关于函数对称轴的对称点A'在函数图象上，若点C（2m+2，y2）也在函数图象上，当y1＞y2时，求m的取值范围．
（4）当m＞0时，若图象G到x轴的距离为2m个单位的点有三个，直接写出m的取值范围．
a x 2 + bx + c - 1 （ x ≥ m ） |
- 1 2 a x 2 - 1 2 bx - 1 2 c + 1 （ x ＜ m ） |
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=
．
（2）m=-4．
（3）-2≤m＜-1或-m≤．
（4）m或m=1+．
- x 2 - 2 mx + 2 m - 1 （ x ≥ m ） |
1 2 x 2 + mx - m + 1 （ x ＜ m ） |
（2）m=-4．
（3）-2≤m＜-1或-
1
3
＜
1
2
（4）
1
3
≤
＜
3
-
3
3
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：150引用：3难度：0.2
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1．设二次函数y=x2+2ax+
（a＜0）的图象顶点为A，与x轴交点为B、C，当△ABC为等边三角形时，a的值为．a22发布：2025/5/27 23:30:1组卷：369引用：3难度：0.7 -
2．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）点（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．发布：2025/5/28 0:30:1组卷：996引用：77难度：0.1 -
3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．3
（1）求实数a,b,c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．发布：2025/5/28 1:30:2组卷：1106引用：26难度：0.1
