《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲．此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己．画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形AnBnCnDn，n=1，2，3的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为Pn，Qn，将极点P1，Q1，分别与正方形A2B2C2D2的顶点连线，取其中点记为Em，Fm，m=1，2，3，4，如（图3）．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥A1-P1E1P2E2与A2-P2E1P3F1
（1）求异面直线P1A2与Q1B2成角余弦值；
（2）求平面P1A1E1与平面A1E2P2的夹角正弦值；
（3）求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）．
【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【答案】（1）；（2）；（3）表面积为，体积为2．
1
3
3
2
12
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：236引用：9难度：0.3
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