若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，则称四边形ABCD是半对称四边形，BD称为四边形ABCD的分割对角线．
（1）如图1，求证：BC∥AD．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AC，AD∥BC，∠CAD=2∠DBC．求证：四边形ABCD是半对称四边形．
（3）如图3，在△ABC中，∠A=45°，∠ABC=120°，BC=23，D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是半对称四边形且AC为分割对角线时，求四边形ABCD的面积．
BC
=
2
3
【考点】四边形综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/7 8:0:9组卷：610引用：4难度：0.3
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1．如图①，△ABC是等腰直角三角形，
∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），并探究下列问题：
（1）如图②，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当α=45°时，如图③，延长DB交CF于点H．当AB=2，AD=3时，求线段DH的长；2
（3）如图④，延长DB交CF于点H，连接AH，直接写出线段FH，DH，AH之间的数量关系．发布：2025/6/6 7:0:2组卷：276引用：1难度：0.1 -
2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．
（1）若DP=2，则AE=；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围；
（3）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/6 7:0:2组卷：92引用：1难度：0.1 -
3．折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
【实践操作】将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点D落矩形ABCD所在平面内，边BC和AD'相交于点E．
【解决问题】
（1）如图1，①求证：△ABE≌△CD'E；②连接BD'，判断BD'和AC的位置，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，若AB=3，点F是对角线AC上一动点，∠ACB=30°，连结EF，作点C关于直线EF的对称点P，直线PE交AC于点Q，当△AEQ是直角三角形时，直接写出CF的长．3
发布：2025/6/6 7:0:2组卷：272引用：4难度：0.3
