在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点D（-3，52）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若∠PDC=45°，求点P的坐标；
（3）如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求MNOM的最大值．
D
（
-
3
，
5
2
）
MN
OM
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
y
=
-
1
2
x
2
-
x
+
4
（2）
（
0
，
3
2
）
（3）
25
8
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/24 9:30:2组卷：1704引用：11难度：0.1
相似题
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1．如图，抛物线y=-（x-1）2+4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，连结AC，BC．
（1）点B的坐标为 ，点D的坐标为 ．
（2）动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿线段BC向终点C运动，设运动时间为t秒，则当以C，D，E为顶点的三角形与△ACB相似时，求t的值．发布：2025/6/11 19:0:1组卷：67引用：1难度：0.3 -
2．已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．发布：2025/6/11 19:30:1组卷：2926引用：6难度：0.2 -
3．九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=2x2-3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y=2x2-3x+1可知，a1=2，b1=-3，c1=1，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y=x2-4x+3的“旋转函数”是 ；
（2）若函数y=5x2+（m-1）x+n与y=-5x2-nx-3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y=2（x-1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y=2（x-1）（x+3）互为“旋转函数”．发布：2025/6/11 20:30:1组卷：451引用：9难度：0.5
