如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D（m,0）为线段OB上一动点（不与O，B重合），过点D作平行于y轴的直线交BC于点M，交抛物线于点N，是否存在点D使点M为线段DN的三等分点，若存在求出点D坐标，若不存在请说明理由；
（3）过点O作直线l∥BC，点P，Q为第一象限内的点，且Q在直线l上，P为l上方抛物线上的点，是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△COB，若存在直接写出P，Q坐标，若不存在请说明理由．
y
=
1
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-x-；
（2）存在，（，0）或（2，0）；
（3）存在，Q（，），P（，）．
1
2
3
2
（2）存在，（
1
2
（3）存在，Q（
56
9
28
9
14
3
85
18
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/25 9:0:1组卷：561引用：2难度：0.2
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1．已知抛物线y=-
x2+mx+t过（1，2m），抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，连接BC．12
（1）求t的值（用含m的式子表示）；
（2）若抛物线过点（3，4），点G是x轴上的点，过点G作x轴的垂线，交抛物线于点E，交线段BC于点F，EF=FG时，求G点坐标；
（3）过A点作BC平行线，交抛物线于点D，当t与m满足t+m=时，求∠ADB的度数．72发布：2025/5/25 14:30:1组卷：30引用：1难度：0.3 -
2．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为直线x=2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
发布：2025/5/25 14:30:1组卷：2977引用：12难度：0.1 -
3．在平面直角坐标系中，直线y=-x-2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，二次函数y=ax2-2x-c的图象过A，B两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点C是抛物线对称轴l上一点，点D在抛物线上，若以点C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，求满足条件的点D、点C的坐标．发布：2025/5/25 14:0:1组卷：109引用：1难度：0.2
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