如图，抛物线y=ax2+bx+4与坐标轴分别交于A，B，两点A（-2，0），B（3，0），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AP，CP，AC，若S△APC=12S△AOC，求点P的坐标；
（3）连接AP，BC，是否存在点P，使得2∠PAB=∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
S
△
APC
=
1
2
S
△
AOC
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2+x+4；
（2）点P的坐标为（1，4）；
（3）存在点P，使得2∠PAB=∠ABC，点P的坐标为．
2
3
2
3
（2）点P的坐标为（1，4）；
（3）存在点P，使得2∠PAB=∠ABC，点P的坐标为
（
9
4
，
17
8
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/20 8:0:9组卷：94引用：1难度：0.1
相似题
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1．已知抛物线y=x2．
（1）设P为直线y=x在第一象限图象上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，将△OPM沿OP翻折，得到△OPN（如图1所示），若点N恰好在抛物线上，求点N的坐标；12
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线在第一象限图象上的两个动点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D（如图2所示），记△OAB的面积为S1，梯形ABDC的面积为S2，若5S1=2S2，CD=2，求直线AB的解析式．（参考公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2），a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
发布：2025/5/24 3:0:1组卷：213引用：1难度：0.3 -
2．如图，直线
与x轴、y轴交于点A、C，抛物线y=32x+3经过点A、C，与x轴的另一个交点是B，点P是直线AC上的一动点．y=-12x2+bx+c
（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）如图1，求当OP+PB的值最小时点P的坐标；
（3）如图2，过点P作PB的垂线交y轴于点D，是否存在点P，使以P、D、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 3:0:1组卷：406引用：1难度：0.3 -
3．如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 3:0:1组卷：2830引用：9难度：0.1
