如图1所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，且∠PAB=∠ACO，求点P的坐标；
（3）若点N是直线y=2上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）24；
（2）P（，）；
（3）存在点M（3，5）或（，），使得△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
（2）P（
15
4
23
16
（3）存在点M（3，5）或（
3
-
33
2
1
+
33
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1029引用：5难度：0.2
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1．平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点C的坐标为（-3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点．
（1）直接写出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCO的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；14
（3）如图2，D（0，-）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以52个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O-A-B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t≤6），是否存在实数t,使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．55
发布：2025/6/18 19:0:2组卷：1314引用：52难度：0.1 -
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；
（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．
发布：2025/6/18 19:0:2组卷：2952引用：52难度：0.5 -
3．在平面直角坐标系中，抛物线y=-
x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．12
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．
发布：2025/6/18 19:0:2组卷：6193引用：66难度：0.5
