英国数学家布鲁克•泰勒（Brook Taylor,1685.8-1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世．根据泰勒公式，我们可知：如果函数f（x）在包含x0的某个开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，那么对于∀x∈（a,b），有f（x）=f（x0）0!+f′（x0）1!（x-x0）+f″（x0）2!（x-x0）2+…+f（n）（x0）n!（x-x0）n+Rn（x），其中，Rn（x）=f（n+1）（ɛ）（n+1）!（x-x0）（n+1）（此处ɛ介于x0和x之间）．
若取x0=0，则f（x）=f（0）0!+f′（0）1!（x）+f″（0）2!（x）2+…+f（n）（0）n!（x）n+Rn（x），其中，Rn（x）=f（n+1）（ɛ）（n+1）!（x）（n+1）（此处ɛ介于0和x之间）称作拉格朗日余项．此时称该式为函数f（x）在x=0处的n阶泰勒公式，也称作f（x）的n阶麦克劳林公式．
于是，我们可得e=1+11!+12!+…+1n!+eɛ（n+1）!（此处ɛ介于0和1之间）．若用3（n+1）!近似的表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn（x）=eɛ（n+1）!，当Rn（x）不超过12500时，正整数n的最小值是（ ）
f
（
x
0
）
0
!
f
′
（
x
0
）
1
!
f
″
（
x
0
）
2
!
f
（
n
）
（
x
0
）
n
!
f
（
n
+
1
）
（
ɛ
）
（
n
+
1
）
!
f
（
0
）
0
!
f
′
（
0
）
1
!
f
″
（
0
）
2
!
f
（
n
）
（
0
）
n
!
f
（
n
+
1
）
（
ɛ
）
（
n
+
1
）
!
1
1
!
1
2
!
1
n
!
e
ɛ
（
n
+
1
）
!
3
（
n
+
1
）
!
e
ɛ
（
n
+
1
）
!
1
2500
【考点】利用导数研究函数的单调性；基本初等函数的导数．
【答案】C
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：122引用：2难度：0.8
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