已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面积为S△PF1F2=32．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C相交于M、N两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
3
S
△
P
F
1
F
2
3
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）椭圆C的方程为；
（2）证明：由题意知A（-2，0）、B（2，0），
①当直线l与x轴垂直时，、，
则AN的方程是：，
BM的方程是：，
直线AN与直线x=4的交点为，
∴点R在直线BM上．
②当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）
由
得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0
∴，
，，
A，N，R共线，
∴
又，，
需证明B，M，R共线，
需证明2y1-y0（x1-2）=0，只需证明
若k=0，显然成立，若k≠0，即证明（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=0
∵（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=-2x1x2+5（x1+x2）-8
=成立，
∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）证明：由题意知A（-2，0）、B（2，0），
①当直线l与x轴垂直时，
M
（
1
，
3
2
）
N
（
1
，-
3
2
）
则AN的方程是：
y
=
-
3
6
（
x
+
2
）
BM的方程是：
y
=
-
3
2
（
x
-
2
）
直线AN与直线x=4的交点为
R
（
4
，-
3
）
∴点R在直线BM上．
②当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）
由
y = k （ x - 1 ） |
x 2 4 + y 2 = 1 |
∴
x
1
+
x
2
=
8
k
2
1
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
AR
=
（
6
，
y
0
）
AN
=
（
x
2
+
2
，
y
2
）
A，N，R共线，
∴
y
0
=
6
y
2
x
2
+
2
又
BR
=
（
2
，
y
0
）
BM
=
（
x
1
-
2
，
y
1
）
需证明B，M，R共线，
需证明2y1-y0（x1-2）=0，只需证明
2
k
（
x
1
-
1
）
-
6
k
（
x
2
-
1
）
x
2
+
2
（
x
1
-
2
）
=
0
若k=0，显然成立，若k≠0，即证明（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=0
∵（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=-2x1x2+5（x1+x2）-8
=
-
2
（
4
k
2
-
4
）
1
+
4
k
2
+
5
×
8
k
2
1
+
4
k
2
-
8
=
0
∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．
【解答】
【点评】
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