已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2且椭圆C上的点P（1，32）到F1、F2两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点直线OM、ON的斜率之积等于-14，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
（
1
，
3
2
）
-
1
4
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）是定值；
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由
得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2-1）=0
Δ=64m2k2-16（1+4k2）（m2-1）＞0⇒1+4k2-m2＞0且x1+x2=-，x1x2=
∵直线OM，ON的斜率之积等于-，
===-
∴==-，即：2m2=4k2+1
又O到直线MN的距离为 d=，|MN|==，
所以S△OMN=|MN|d===1（定值）．
x
2
4
（Ⅱ）是定值；
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 = 1 |
Δ=64m2k2-16（1+4k2）（m2-1）＞0⇒1+4k2-m2＞0且x1+x2=-
8
mk
1
+
4
k
2
4
（
m
2
-
1
）
1
+
4
k
2
∵直线OM，ON的斜率之积等于-
1
4
y
1
y
2
x
1
x
2
（
k
x
1
+
m
）
（
k
x
2
+
m
）
x
1
x
2
km
（
x
1
+
x
2
）
+
k
2
x
1
x
2
+
m
2
x
1
x
2
1
4
∴
km
（
-
8
mk
）
+
4
k
2
（
m
2
-
1
）
+
m
2
（
1
+
4
k
2
）
4
（
m
2
-
1
）
m
2
-
4
k
2
4
（
m
2
-
1
）
1
4
又O到直线MN的距离为 d=
|
m
|
1
+
k
2
1
+
k
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
1
+
k
2
16
k
2
+
8
m
2
-
8
所以S△OMN=
1
2
1
2
16
k
2
+
8
-
8
m
2
1
2
16
k
2
+
8
-
4
（
4
k
2
+
1
）
【解答】
【点评】
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