如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，点D为直线AC上的任意一点，过点D作DE∥BC交直线AB于点E，过点A作AF⊥BD，交直线BD于点F，垂足为点F，直线AF与直线BC相交于点G．
（1）如图1，当点D在边AC上时，则线段DE，CG，BC之间的数量关系是 DE+CG=BCDE+CG=BC；
（2）如图2，当点D在边AC的延长线上时，则线段DE，CG，BC之间的数量关系是 DE=CG+BCDE=CG+BC，请证明你的结论：
（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=6，DE=10，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段DE于点M，N，当DM=2时，求线段EN的长．
【考点】几何变换综合题．
【答案】DE+CG=BC；DE=CG+BC
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/30 13:42:58组卷：632引用：2难度：0.1
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1．如图①，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．
（1）观察猜想：△PMN的形状是 ．
（2）探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，△PMN的形状是否发生改变？请说明理由．
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AB=3，AD=1，请直接写出△PMN周长的最大值．
发布：2025/6/14 22:30:1组卷：33引用：1难度：0.5 -
2．已知，点D是等边△ABC边AB所在直线AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接DC，以DC为边在DC上方作等边△DCE，连接AE；
操作发现：
（1）如图（1），当动点D在AB上，你能发现线段AE与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
（2）如图（2），在（1）的条件下，作△DCE关于直线CD对称的△DCF，连接BF，探究AE、BF与BC有何数量关系？并证明你探究的结论；
拓展探究：
（3）如图（3），当动点D在BA的延长线上，其他作法与（2）相同，当AE=5，BF=2时，求BC的长度．
发布：2025/6/14 15:30:1组卷：134引用：2难度：0.2 -
3．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，AD=AE=2．连接CD，BE，F，G，H分别是BE，CD，DE的中点，连接GF，FH，GH．
（1）如图1，当B，A，E三点共线，且D在AC边上时，求线段FH，GH的长；
（2）如图2，当△ADE绕点A旋转时，求证：△GFH是等腰直角三角形，并直接写出△GFH面积的最大值．
发布：2025/6/14 15:0:1组卷：139引用：2难度：0.3
