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已知动圆P与圆O1：x2-x+y2=0内切，且与直线x=-1相切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上一点M（2，y0）（y0＞0）作两条直线l1，l2与曲线C分别交于不同的两点A，B，若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1．证明：直线AB过定点．
O
1
：
x
2
-
x
+
y
2
=
0
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）y2=2x；
（2）证明：易知M（2，2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：x=my+b，
联立
得y2-2my-2b=0，所以
，则
，
因为k1k2==1，即y1y2-2（y1+y2）=x1x2-2（x1+x2），
所以b2-2b-4m2+4m=0，则（b-1）2=（2m-1）2，
所以b=2m或b=-2m+2，
当b=2m时，直线AB的方程：x=my+2m过点（0，-2），
当b=-2m+2时，直线AB的方程：x=my-2m+2过定点（2，2）与M重合，舍去；
所以直线AB过定点（0，-2）．
（2）证明：易知M（2，2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：x=my+b，
联立
x = my + b |
y 2 = 2 x |
y 1 + y 2 = 2 m |
y 1 y 2 = - 2 b |
x 1 + x 2 = 2 m 2 + 2 b |
x 1 x 2 = b 2 |
因为k1k2=
y
1
-
2
x
1
-
2
•
y
2
-
2
x
2
-
2
所以b2-2b-4m2+4m=0，则（b-1）2=（2m-1）2，
所以b=2m或b=-2m+2，
当b=2m时，直线AB的方程：x=my+2m过点（0，-2），
当b=-2m+2时，直线AB的方程：x=my-2m+2过定点（2，2）与M重合，舍去；
所以直线AB过定点（0，-2）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/23 20:38:36组卷：54引用：3难度：0.5
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