已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于255．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若MA=λ1AF，MB=λ2BF，求证：λ1+λ2为定值．
2
5
5
MA
=
λ
1
AF
MB
=
λ
2
BF
【答案】（I）；
（Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为
A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），
又易知F点的坐标为（2，0）．
∵，∴（x1，y1-y0）=λ1（2-x1，-y1）．
∴，．
将A点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得λ12+10λ1+5-5=0．
同理，由可得：λ22+10λ2+5-5=0．
∴λ1，λ2是方程x2+10x+5-5=0的两个根，
∴λ1+λ2=-10．
方法二：设A，B，M点的坐标分别为A
（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x-2）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，
消去y并整理得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0．
∴，．
又∵，，
将各点坐标代入得，．
．
x
2
5
+
y
2
=
1
（Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为
A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），
又易知F点的坐标为（2，0）．
∵
MA
=
λ
1
AF
∴
x
1
=
2
λ
1
1
+
λ
1
y
1
=
y
0
1
+
λ
1
将A点坐标代入到椭圆方程中得：
1
5
（
2
λ
1
1
+
λ
1
）
2
+
（
y
0
1
+
λ
1
）
2
=
1
去分母整理，得λ12+10λ1+5-5
y
2
0
同理，由
MB
=
λ
2
BF
y
2
0
∴λ1，λ2是方程x2+10x+5-5
y
2
0
∴λ1+λ2=-10．
方法二：设A，B，M点的坐标分别为A
（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x-2）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，
消去y并整理得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0．
∴
x
1
+
x
2
=
20
k
2
1
+
5
k
2
x
1
x
2
=
20
k
2
-
5
1
+
5
k
2
又∵
MA
=
λ
1
AF
MB
=
λ
2
BF
将各点坐标代入得
λ
1
=
x
1
2
-
x
1
λ
2
=
x
2
2
-
x
2
λ
1
+
λ
2
=
x
1
2
-
x
1
+
x
2
2
-
x
2
=
2
（
x
1
+
x
2
）
-
2
x
1
x
2
4
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
x
1
x
2
=
-
10
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：156引用：6难度：0.1
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