如图1，△ABC中，AB=AC，其外接圆为⊙O，⊙O半径为5，BC=8，点M为优弧BMC的中点，点D为BM上一动点，连结AD，BD，CD，AD与BC交于点H．
（1）求证：△ACH∽△ADC；
（2）若AH：DH=2：3，求CD的长；
（3）如图2，在（1）的条件下，E为DB为延长线上一点，设AH：DH=x,tan2∠ABE=y.
①求y关于x的函数关系式；
②如图3，连结AM分别交BC，CD于N、P，作FN⊥AD于D，交AB于F，若△BFN面积为△ACP面积的35，求x的值．
3
5
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）3；
（3）①；
②．
（2）3
10
（3）①
y
=
x
+
1
4
x
-
1
②
13
7
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：337引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD⊥DE，DF平分∠ADE交AB于点G，∠ADF=∠AEF．
（1）求证：△EDF∽△GEF；
（2）求证：BD是以AE为直径的圆的切线；
（3）若tan∠AED=2，EF=2，求线段DF的长．10发布：2025/5/26 5:30:2组卷：104引用：3难度：0.4 -
2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B，以AB为直径构造圆，点C在y=-34x+6运动，点D在ˆBO上，CD交OA于点P，且ˆCA．ˆCD=ˆOA
（1）求CD的长．
（2）求证：OP=PD．
（3）CE∥OA，交圆于另一点E，连结DE．若△CDE为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标．发布：2025/5/26 6:0:1组卷：354引用：1难度：0.2 -
3．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．
（1）如图2，在△ABC中，BC=AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；2
（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．
①求证：直线CA与⊙O相切；
②若⊙O的直径为2，求线段AB的长；6
（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC=4，∠B=30°，求△ABC的面积．
发布：2025/5/26 6:0:1组卷：572引用：1难度：0.3
