在平面直角坐标系xOy中，设圆x2+y2-4x=0的圆心为Q．
（1）求过点P（0，-4）且与圆Q相切的直线的方程；
（2）若过点P（0，-4）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B，以OA、OB为邻边做平行四边形OACB，问是否存在常数k,使得▱OACB为矩形？请说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】（1）或x=0；
（2）k=2，假设存在满足条件的实数k，则设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
得（1+k2）x2-（8k+4）x+16=0
∵Δ=16（2k+1）2-64（1+k2）＞0，
∴，
∴，且y1+y2=k（x1+x2），
∵=（x1+x2，y1+y2），∴，
又=，
要使平行四边形OACB矩形，则=，
所以k=2，∴存在常数k=2，使得平行四边形OACB为矩形．
另解：圆周角∠BOA=90°，AB为直径过圆心，
圆心Q（2，0）代入直线y=kx-4，
解得k=2．
y
=
3
4
x
-
4
（2）k=2，假设存在满足条件的实数k，则设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
y = kx - 4 |
x 2 + y 2 - 4 x = 0 |
∵Δ=16（2k+1）2-64（1+k2）＞0，
∴
k
＞
3
4
∴
x
1
+
x
2
=
8
k
+
4
1
+
k
2
-
8
=
4
k
-
8
1
+
k
2
∵
OC
=
OA
+
OB
|
OC
|
2
=
（
x
1
+
x
2
）
2
+
（
y
1
+
y
2
）
2
=
80
1
+
k
2
又
|
AB
|
=
2
4
-
（
2
k
-
4
）
2
1
+
k
2
4
4
k
-
3
1
+
k
2
要使平行四边形OACB矩形，则
|
OC
|
2
=
80
1
+
k
2
|
AB
|
2
=
16
（
4
k
-
3
1
+
k
2
）
所以k=2，∴存在常数k=2，使得平行四边形OACB为矩形．
另解：圆周角∠BOA=90°，AB为直径过圆心，
圆心Q（2，0）代入直线y=kx-4，
解得k=2．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：223引用：8难度：0.3
