如图，已知等腰直角三角形ABC，∠B=90°，AB=BC=4，点P为AC的中点，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，设图中阴影部分图形的面积为S1．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）若AE=CF，求CF的长；
（3）设△CPF的面积为S2，CF=x,y=S1S2．求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值．
y
=
S
1
S
2
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）证明见解答；（2）CF=2；（3）y=-8（-）2+1（2≤x≤4），y最大值为1．
2
1
x
1
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：109引用：1难度：0.4
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1．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，D在AB边上，E在AC边上，BE与CD相交于点F，∠A=∠EBC+∠DCB．
求证∠A+∠DFE=180°．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，若AB=AC．猜想线段BE与线段CD的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行研究之后发现，当AE=EF时，若给出图2中任意两边长，则图2中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若AE=EF=2，EC=3，求AD的长．
发布：2025/6/9 14:30:1组卷：125引用：1难度：0.1 -
2．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∠CAB和∠ACB的角平分线AE，CD交于点P，AC边上的高BF与AE、CD分别交于点G、H，M、N分别为DH、EG的中点，连接MN、BM、BN，下列说法正确的是 ．
①BF=4.8，
②△ABP与△CBP的面积之比为3：4，
③△BDH为等腰三角形，
④BN⊥AE，
⑤∠MNP=∠EAB（请填入相应的序号）．发布：2025/6/9 16:0:2组卷：160引用：1难度：0.4 -
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线AC-CB于点Q，作点C关于直线PQ的对称点C'．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段PQ的长；
（2）当点Q在线段AC上时，设直线PQ与直线BC交于点M，当△APQ和△QCM全等时，求t的值；
（3）当△PCC'为等边三角形时，直接写出满足条件的t值；
（4）当点C'和△ABC的某两个顶点距离相等时，直接写出满足条件的t值．发布：2025/6/9 16:0:2组卷：111引用：1难度：0.2
