如图，已知等腰直角三角形ABC，∠B=90°，AB=BC=4，点P为AC的中点，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，设图中阴影部分图形的面积为S1．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）若AE=CF，求CF的长；
（3）设△CPF的面积为S2，CF=x,y=S1S2．求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值．
y
=
S
1
S
2
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）证明见解答；（2）CF=2；（3）y=-8（-）2+1（2≤x≤4），y最大值为1．
2
1
x
1
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：109引用：1难度：0.4
相似题
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1．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于 AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作∠PAB，∠PBA的平分线AD，BC，交点为E；（3）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．12
简述作图理由：
由作图可知，PA=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB=∠PBA，因为AD，BC分别是∠PAB，∠PBA的平分线，所以∠DAB=∠CBA，所以AE=BE，所以点E在线段AB的垂直平分线上，所以PE是线段AB的垂直平分线．
小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段PA，PB上截取PC=PD；（3）连接AD，BC，交点为E；（4）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．12
…
任务：
（1）小晃得出点P在线段AB的垂直平分线上的依据是 ；
（2）小航作图得到的直线PE是线段AB的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知∠P=30°，PA=PB，AB=，点C，D分别为射线PA，PB上的动点，且PC=PD，连接AD，BC，交点为E，当AD⊥BC时，请直接写出线段AC的长．6发布：2025/6/9 17:0:1组卷：489引用：6难度：0.3 -
2．在平面直角坐标系中，已知点A（a,0），B（b,3），C（4，0），且满足
+（a-b+6）2=0，线段AB交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．a+b
（1）求出点A，B的坐标；
（2）如图2，若DB∥AC，∠BAC=a,且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AMD的度数；（用含a的代数式表示）．
（3）如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/9 17:30:1组卷：1942引用：7难度：0.3 -
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线AC-CB于点Q，作点C关于直线PQ的对称点C'．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段PQ的长；
（2）当点Q在线段AC上时，设直线PQ与直线BC交于点M，当△APQ和△QCM全等时，求t的值；
（3）当△PCC'为等边三角形时，直接写出满足条件的t值；
（4）当点C'和△ABC的某两个顶点距离相等时，直接写出满足条件的t值．发布：2025/6/9 16:0:2组卷：111引用：1难度：0.2
