如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=15，tan∠BAD=43．动点M由点A向点D运动，过点M在AD的右侧作MP⊥AM，连接PA、PD，使∠MPA=∠BAD，过点A、M、P作⊙O．（参考数据：sin49°≈34，cos41°≈34，tan37°≈34）
（1）当⊙O与DP相切时．
①求AM的长；
②求ˆ PM的长．
（2）当△APD的外心Q在△AMP的内部时（包括边界），求在点M移动过程中，点Q经过的路径的长．
（3）当△APD为等腰三角形，并且线段PD与⊙O相交时，直接写出⊙O截线段PD所得的弦长．
tan
∠
BAD
=
4
3
≈
3
4
≈
3
4
≈
3
4
ˆ
PM
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）①；
②；
（2）；
（3）．
48
5
②
37
π
15
（2）
45
8
（3）
3
10
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：165引用：1难度：0.2
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1．[问题提出]
（1）如图1，已知线段AB=4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是 ；
[问题探究]
（2）如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为2，求AE长度的最大值；
[问题解决]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC=20米，BC=120米，∠ACB=30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分△BPC需满足∠BPC=60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．3
发布：2025/5/23 10:30:1组卷：904引用：8难度：0.2 -
2．对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．
（1）已知A（3，0）．
①在点P1（1，3），P2（2，6），P3（-5，1），P4（3，-6）中，是线段OA的“等幂点”的是；
②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；
（2）已知点C的坐标为C（2，-1），点D在直线y=x-3上，记图形M为以点T（1，0）为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标xD的取值范围．发布：2025/5/23 10:0:1组卷：821引用：2难度：0.5 -
3．问题研究．
如图1，AD是△ABC的中线，AH是BC边上的高．
（1）当AH=6，CD=5，DH=3时，AB=．
（2）求证：AB2+AC2=2AD2+2BD2．
问题解决
（3）某地为打造元宵节灯展景观，需按如下要求设计一批灯展造型．如图2，矩形ABCD是造型框架，以顶点A为圆心悬挂圆形灯架（⊙A），以B，C为顶点钉两个正方形展板（正方形BEHG和正方形CENM），接合点点E恰好在⊙A上．若AD=1.4m,AB=2.4m,⊙A的半径为0.7m,求两个正方形展板面积和的最小值．发布：2025/5/23 10:30:1组卷：128引用：3难度：0.1
