已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点A（22，32）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线l,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y=53上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM=NQ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
A
（
2
2
，
3
2
）
y
=
5
3
PM
=
NQ
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）不存在，理由：
假设存在这样的直线 设直线l的方程为y=2x+t，
设M（x1，y1），N（x2，y2），，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），
由
得9x2+8tx+2t2-2=0，
所以，且Δ=（8t）2-36（2t2-2）＞0，
则-3＜t＜3，∴
由知四边形PMQN为平行四边形，
而D为线段MN的中点，因此，D也是线段PQ的中点，
所以，可得，
又-3＜t＜3，所以，
因此点Q不在椭圆上．
所以这样的直线l不存在．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）不存在，理由：
假设存在这样的直线 设直线l的方程为y=2x+t，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
P
（
x
3
，
5
3
）
由
y = 2 x + t |
x 2 2 + y 2 = 1 |
所以
x
1
+
x
2
=
-
8
t
9
则-3＜t＜3，
y
1
+
y
2
=
2
（
x
1
+
x
2
）
+
2
t
=
2
t
9
y
0
=
y
1
+
y
2
2
=
t
9
由
PM
=
NQ
而D为线段MN的中点，因此，D也是线段PQ的中点，
所以
y
0
=
5
3
+
y
4
2
=
t
9
y
4
=
2
t
-
15
9
又-3＜t＜3，所以
-
7
3
＜
y
4
＜
-
1
因此点Q不在椭圆上．
所以这样的直线l不存在．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：40引用：4难度：0.5
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