已知椭圆C两焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0），一个顶点为A（0，-1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l,使直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|AM|=|AN|．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
2
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）存在这样的直线l．
设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程化为（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0
∵Δ=36k2m2-4（1+3k2）（3m2-3）得3k2-m2+1＞0…①
设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点为P（x0，y0），
则x1+x2=-，x1x2=．
于是x0=-，y0=kx0+m=．
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
若m=0，则直线l过原点，P（0，0），不合题意．
若m≠0，由k≠0得，kAP•k=-1得到，整理得2m=3k2+1…②
由①②知，k2＜1，∴-1＜k＜1．
又k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
x
2
3
+
y
2
=
1
（Ⅱ）存在这样的直线l．
设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程化为（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0
∵Δ=36k2m2-4（1+3k2）（3m2-3）得3k2-m2+1＞0…①
设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点为P（x0，y0），
则x1+x2=-
6
km
1
+
3
k
2
3
m
2
-
3
1
+
3
k
2
于是x0=-
3
km
1
+
3
k
2
m
1
+
3
k
2
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
若m=0，则直线l过原点，P（0，0），不合题意．
若m≠0，由k≠0得，kAP•k=-1得到
y
0
+
1
x
0
•
k
=
-
1
由①②知，k2＜1，∴-1＜k＜1．
又k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：260引用：4难度：0.1
相似题
-
1．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，-1），离心率为x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上．发布：2024/12/29 12:30:1组卷：370引用：4难度：0.5 -
2．设椭圆
+x2a2=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．发布：2024/12/29 12:30:1组卷：4514引用：26难度：0.3 -
3．如果椭圆
的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）x236+y29=1发布：2024/12/18 3:30:1组卷：456引用：3难度：0.6
