在平面直角坐标系中，我们规定：点P（a,b）关于“k的衍生点”P′（a+kb,a+b-ka），其中k为常数且k≠0，如：点Q（1，4）关于“5的衍生点”Q′（1+5×4，1+4-5×1），即Q′（21，0）．
（1）求点M（3，4）关于“2的衍生点”M的坐标；
（2）若点N关于“3的衍生点”N′（4，-1），求点N的坐标；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点P关于“k的衍生点”P1，点P1关于“-1的衍生点”P2，且线段PP1的长度不超过线段OP长度的一半，请问：是否存在k值使得P2到x轴的距离是P1到x轴距离的2倍？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：605引用：4难度：0.2
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1．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为AC上一点，点M为BC上一点，线段AM，BP交于点E．
（1）若BP为△ABC的角平分线．
①如图1，已知AM⊥BC，求证：AE=AP；
②如图2，已知AM⊥BP，求证：AP=PM；
（2）如图3，若BP为△ABC的中线，且AM⊥BP，试探究BP，AM，MP三条线段的数量关系是 （直接写出答案）．
发布：2025/6/8 22:0:1组卷：90引用：3难度：0.3 -
2．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD=CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．
发布：2025/6/8 23:0:1组卷：1695引用：10难度：0.2 -
3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（-3，0），B（2，0），C为y轴正半轴上一点，且BC=4．
（1）∠OBC=°；
（2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：
①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当△PQB是直角三角形时，求t的值；
②若点P、Q的运动路程分别是a,b,当△PQB是等腰三角形时，求出a与b满足的数量关系．
发布：2025/6/8 23:30:1组卷：435引用：5难度：0.3
