在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，倾斜角为π4的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且点M与坐标原点O连线的斜率为-12．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若|AB|=43，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：|OP|≤2+103．
x
2
a
2
y
2
b
2
π
4
1
2
4
3
2
+
10
3
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：设l：y=x+m，
联立
，得到3x2+4mx+2m2-2=0．
∴Δ=24-8m2＞0，得m2＜3，且，．
∵|AB|=，化简得m2=2．
又∵M为弦AB的中点，∴M（），故．
即|OM|=．
∵，∴|OP|．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）证明：设l：y=x+m，
联立
y = x + m |
x 2 2 + y 2 = 1 |
∴Δ=24-8m2＞0，得m2＜3，且
x
1
+
x
2
=
-
4
m
3
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
3
∵|AB|=
2
•
2
2
•
3
-
m
2
3
=
4
3
又∵M为弦AB的中点，∴M（
-
2
m
3
，
m
3
|
OM
|
2
=
5
9
m
2
=
10
9
即|OM|=
10
3
∵
|
OP
|
≤
|
OM
|
+
1
2
|
AB
|
≤
10
3
+
2
3
=
2
+
10
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：55引用：2难度：0.4
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