已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，3），离心率为12．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线l1交椭圆于A、B两点，过原点的直线l2交椭圆于C、D两点．若l1∥l2，求证：|CD|2|AB|为定值．
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
（
0
，
3
）
1
2
|
CD
|
2
|
AB
|
【考点】直线与圆锥曲线的综合；直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的斜率为k，依题意k≠0，
则直线AB的方程为y=k（x-1），直线CD的方程为y=kx．
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
则，，
==．
由
整理得，
则.．
∴．
综合（1）（2），为定值．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）证明：当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的斜率为k，依题意k≠0，
则直线AB的方程为y=k（x-1），直线CD的方程为y=kx．
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = k （ x - 1 ） |
则
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
|
AB
|
=
1
+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
1
+
k
2
•
（
8
k
2
3
+
4
k
2
）
2
-
4
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
）
12
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = kx |
x
2
=
12
3
+
4
k
2
则
|
x
3
-
x
4
|
=
4
3
3
+
4
k
2
|
CD
|
=
1
+
k
2
|
x
3
-
x
4
|
=
4
3
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
∴
|
CD
|
2
|
AB
|
=
48
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
•
3
+
4
k
2
12
（
1
+
k
2
）
=
4
综合（1）（2），
|
CD
|
2
|
AB
|
=
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：721引用：6难度：0.7
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1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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