材料一：已知N为一个四位自然数，若N满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称N为“等和数”．
材料二：对于一个“等和数”N，将N的百位数字记为n,千位与百位上的数字之和与十位土的数字的积记为k,令F（N）=3n2+k.
例如：当N=2312时，∵2=2且3=1+2，∴2312是“等和数”：此时，n=3，k=（2+3）×1=5，F（2312）=3×32+5=32；当N=4524时，∵4=4但5≠2+4，∴4524不是“等和数”．
（1）请判断3543，1211是否是“等和数”，并说明理由；如果是，请求出对应的F（N）的值；
（2）若一个数是某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．已知N是个位上的数字小于十位上的数字的“等和数，将N的各个数位上的数字之和记为G（N），若F（N）G（N）为完全平方数，求N的所有可能值．
F
（
N
）
G
（
N
）
【考点】因式分解的应用．
【答案】（1）3543不是“等和数”，1211是“等和数，F（1211）=15；
（2）N=1541或N=2972．
（2）N=1541或N=2972．
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/13 12:0:1组卷：273引用：2难度：0.5
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1．一个四位正整数m各个数位上的数字都不为0，四位数m前两位数字之和为6，后两位数字之和为8，称这样的四位数m为“福禄数”；把四位数m的前两位上的数字和后两位上的数字整体交换位置后得到新的四位数m'，称此时的m'是m的“生长数”，并规定
，例如m=5126，∵5+1=6，2+6=8，∴5126是“福禄数”，则它的“生长数”m'=2651，F（m）=m-m′99．F（m）=5126-265199=25
（1）判断2447是不是“福禄数”；
（2）写出最大的“福禄数”并求出此时F（m）的值；
（3）已知：S=120+c,t=2004+100a+10b（0≤a≤7，0≤b≤7，0≤c≤5，其中a,b,c均为整数），当s+t为“福禄数”时，求出所有s+t的值．发布：2025/6/14 4:0:2组卷：258引用：2难度：0.4 -
2．阅读下列材料，解决问题：
我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：167528-2×5=167518，16751-8×5=16711，1671-1×5=1666，166-6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续13-6×5=-17，-17是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”．
（1）请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由．
（2）一个五位节俭数，其中千位上的数字为b,万位上的数字为a,且b=a-1，请利用上面方法求出这个数．ab213发布：2025/6/14 9:0:1组卷：45引用：1难度：0.6 -
3．我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形；在代数中如a+b+c,abc,a2+b2，…，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母a,b的对称式的基本对称式是a+b和ab,像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b和ab表示，例如：a2+b2=（a+b）2-2ab.请根据上述材料解决下列问题：
（1）式子①a2b-2，②a2-b2，③中，属于对称式的是 （填序号）．1a+1b
（2）已知（x+a）（x+b）=x2+mx+n.
①m=，n=（用含a,b的代数式表示）；
②若m=-2，n=3，求对称式的值；ba+ab
③若n=-1，请求出对称式的最小值．a4+1a2+b4+1b2发布：2025/6/14 1:30:1组卷：71引用：1难度：0.6
