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与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，…，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S正n边形，其内切圆的半径为r,试探索正n边形的面积．（结果可用三角函数表示）
如图①，当n=3时，设AB切圆O于点C，连接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOC=12AOB，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵∠AOC=12•360°3=60°，OC=r,∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴S△OAB=12•r•2rtan60°=r2tan60°，∴S正三角形=3S△OAB=3r2•tan60°．
（1）如图②，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S正四边形=4r2•tan45°4r2•tan45°；
（2）如图③，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S正五边形；
（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S正n边形=nr2•tan180°nnr2•tan180°n．
∠
AOC
=
1
2
AOB
∠
AOC
=
1
2
•
360
°
3
=
60
°
S
△
OAB
=
1
2
•
r
•
2
rtan
60
°
=
r
2
tan
60
°
180
°
n
180
°
n
【答案】4r2•tan45°；nr2•tan
180
°
n
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/22 23:30:1组卷：216引用：6难度：0.5
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