十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE．然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

（1）若在某次测量中，横档CD的长度为20，测得太阳高度角∠CAD=60°，求影子AE的长；
（2）若在另一次测量中，AE=40，横档CD的长度为20，求太阳高度角的正弦值；
（3）在杆AB上有两点A₁，A₂满足AA₁=

1

2

A

A

2

．当横档CD的中点E位于A_i时，记太阳高度角为a_i（i=1，2），其中α₁，α₂都是锐角．证明：α₁＜2α₂．