如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE=DF，AE、AF分别与BD交于点G、H，过点G作GN⊥AF，垂足为M，交AD于点N．
（1）求证：AH=GN；
（2）若∠EAF=45°，求证：AHAF=BGCF；
（3）如图2，过点G作GQ⊥AD，垂足为Q，交AF于点P．若GM=4MN，求APGP的值．
AH
AF
=
BG
CF
AP
GP
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）（2）证明见解析部分；
（3）．
（3）
10
8
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/23 7:0:1组卷：331引用：2难度：0.1
相似题
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1．综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，求证：AF-BF=EF．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：
由正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，
再由垂直和平行可知∠AED=∠AFB=90°，
再利用同角的余角相等得到∠ADE=∠BAF，
则可根据“AAS”判定△ADE≌△BAF，
得到AE=BF，所以AF-BF=AF-AE=EF．
【建立模型】
该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的点，BF∥DE，连接BE，DF．
求证：四边形BEDF是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；
（2）如图3，若正方形ABCD的边长为12，E是对角线AC上的一点，过点E作EG⊥DE，交边BC于点G，连接DG，交对角线AC于点F，CF：EF=3：5，求FG•DF的值．
发布：2025/5/23 12:30:2组卷：676引用：1难度：0.4 -
2．已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．
（1）如图①，若AB∥CD，AB=CD，∠A=90°，且AD•DF=AE•DC，求证：∠CGE=90°；
（2）如图②，若AB∥CD，AB=CD，且∠A=∠EGC时，求证：DE•CD=CF•DA；
（3）如图③，若BA=BC=3，DA=DC=4，设DE⊥CF，当∠BAD=90°时，直接写出的值．DECF
发布：2025/5/23 13:30:1组卷：556引用：2难度：0.3 -
3．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D为边BC上一动点（不与B、C重合），CD和AD的垂直平分线交于点E，连接AD、AE、DE和CE，ED与AC相交于点F，设∠CAE=a.
（1）请用含a的代数式表示∠CED的度数；
（2）求证：△ABC∽△AED；
（3）若a=30°，求EF：BD的值．发布：2025/5/23 14:0:1组卷：77引用：1难度：0.1
