已知抛物线y=4（x-m）（x-m+1）（m为常数）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为C．
（1）求出A，B，C的坐标（用m表示）；
（2）若m=0，如图，其中P为直线AC下方的抛物线上一点，过P作PM⊥AC交AC于M，求5PM的最大值，并求出此时P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移12个单位，M、N在抛物线上，满足MB⊥NB，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．
5
1
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）A（m-1，0），B（m，0），C（，-1）；
（2）（-，-），；
（3）直线经过定点（-，）．
2
m
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2
（2）（-
3
4
3
4
1
4
（3）直线经过定点（-
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2
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/25 3:30:2组卷：572引用：2难度：0.3
相似题
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1．如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．
（1）抛物线的解析式是；
（2）如图（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′F∥PE交x轴于F．设S四边形EPP′F=y,EF=x,求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在．请说明理由．
发布：2025/6/19 7:30:2组卷：1159引用：52难度：0.5 -
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t,0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c.
（1）填空：△AOB≌△≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，）；
（2）求点C的坐标，并用含a,t的代数式表示b；
（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；
（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2-，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．12t发布：2025/6/19 7:30:2组卷：1626引用：51难度：0.1 -
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/19 7:30:2组卷：4799引用：62难度：0.5
