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关于椭圆的切线有下列结论：若P（x1，y1）是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的一点，则过点P的椭圆的切线方程为x1xa2+y1yb2=1．已知椭圆C：x24+y23=1，过椭圆C外一点M（x0，y0）作椭圆的两条切线MA，MB（A，B为切点）．
（Ⅰ）利用上述结论，求过椭圆C上的点P（1，n）（n＞0）的切线方程；
（Ⅱ）若M是直线x=4上的任一点，过M作椭圆C的两条切线MA，MB（A，B为切点），设椭圆的右焦点为F，求证：MF⊥AB．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
x
2
4
+
y
2
3
=
1
【考点】椭圆的切线方程及性质．
【答案】（Ⅰ）x+2y-4=0；
（Ⅱ）证明：设M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），
则过A，B两点的椭圆C的切线MA，MB的方程为：
，．
∵M（4，t）在两切线上，∴，．
∴A，B两点均在直线上，即直线AB的方程为x+．
当t≠0时，，
又F（1，0），∴，，
∴MF⊥AB；
若t=0，点M（4，0）在x轴上，A，B两点关于x轴对称，显然MF⊥AB．
轴上，MF⊥AB．
（Ⅱ）证明：设M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），
则过A，B两点的椭圆C的切线MA，MB的方程为：
x
1
x
4
+
y
1
y
3
=
1
x
2
x
4
+
y
2
y
3
=
1
∵M（4，t）在两切线上，∴
4
x
1
4
+
t
y
1
3
=
1
4
x
2
4
+
t
y
2
3
=
1
∴A，B两点均在直线
4
x
4
+
ty
3
=
1
ty
3
=
1
当t≠0时，
k
AB
=
-
3
t
又F（1，0），∴
k
MF
=
t
-
0
4
-
1
=
t
3
k
AB
•
k
MF
=
-
3
t
•
t
3
=
-
1
∴MF⊥AB；
若t=0，点M（4，0）在x轴上，A，B两点关于x轴对称，显然MF⊥AB．
轴上，MF⊥AB．
【解答】
【点评】
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发布：2024/11/7 8:0:2组卷：136引用：2难度：0.4
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