在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a≠0）的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．我们规定抛物线与x轴围成的封闭区域称为“区域G”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
（1）如果抛物线y=ax2-2ax-3a经过点（1，3）．
①求a的值；
②直接写出“区域G”内整数点的个数；
（2）当a＜0时，如果抛物线y=ax2-2ax-3a在“区域G”内有4个整数点，求a的取值范围；
（3）当a＞0时，抛物线与直线x=a交于点C，把点C向左平移5个单位长度得到点D，以CD为边作等腰直角三角形CDE，使∠DCE=90°，点E与抛物线的顶点始终在CD的两侧，线段DE与抛物线交于点F，当tan∠ECF=23时，直接写出a的值．
2
3
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）①a=-；
②6个；
（2）-≤a＜-；
（3）或．
3
4
②6个；
（2）-
2
3
1
2
（3）
1
2
3
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：187引用：1难度：0.3
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1．如图，抛物线y=-（x-1）2+4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，连结AC，BC．
（1）点A的坐标为 ．点B的坐标为 ．
（2）动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿线段BC向终点C运动，设运动时间为t秒，则当以C，D，E为顶点的三角形与△ACB相似时，求t的值．发布：2025/6/13 1:0:1组卷：333引用：1难度：0.2 -
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-5恰好经过A（2，-9），B（4，-5），C（4，-13）三点中的两点．
（1）求该抛物线表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个抛物线；
（3）如果直线y=k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是 ．发布：2025/6/13 0:30:2组卷：60引用：4难度：0.5 -
3．如图，已知抛物线y=-
x2-23x+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥AC交抛物线于点D．43
（1）求点D的坐标；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点，连接DP，交AC于点E，连接BE，BP，求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线y'，点M是新抛物线y'对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．133
发布：2025/6/13 0:30:2组卷：928引用：3难度：0.2
