已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（1，0），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=-2相交于M，N两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；抛物线的标准方程．
【答案】（Ⅰ）抛物线C的方程为y2=4x；
（Ⅱ）证明：
当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
∴．
当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），
设M（-2，yM），N（-2，yN），A（x1，y1），B（x2，y2），
解
整理得 k2x2-（4+2k2）x+k2=0，
∵∠AOB=∠MON，
∴x1•x2=1．∴．
综上．
（Ⅱ）证明：
当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
∴
S
△
ABO
S
△
MNO
=
（
|
OF
|
2
）
2
=
1
4
当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），
设M（-2，yM），N（-2，yN），A（x1，y1），B（x2，y2），
解
y = k （ x - 1 ） |
y 2 = 4 x |
∵∠AOB=∠MON，
∴x1•x2=1．∴
S
△
ABO
S
△
MNO
=
1
2
•
AO
•
BO
•
sin
∠
AOB
1
2
•
MO
•
NO
•
sin
∠
MON
=
AO
MO
•
BO
NO
=
x
1
2
•
x
2
2
=
1
4
综上
S
△
ABO
S
△
MNO
=
1
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：217引用：7难度：0.3
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