在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，半圆O的直径EF开始在边BC上，且点E与点C重合，EF=4．将半圆O绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当α=60°时，半圆O与AD相切于点P．如图1所示．
（1）求AC的长度；
（2）如图2，当AC，BC分别与半圆O交于点M，N时，连接MN，OM，ON．
①求∠MON的度数；
②求MN的长度；
（3）当α=90°时，将半圆O沿边BC向左平移，设平移距离为x,当ˆEF与△ABC的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围．
ˆ
EF
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）6；
（2）120°，；
（3）或．或6-＜x＜6．
（2）120°，
MN
=
2
3
（3）
0
≤
x
≤
4
3
3
x
=
6
-
2
3
4
3
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：224引用：4难度：0.3
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1．定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
（1）如图1，在“对角互余四边形”ABCD中，AD=CD，BD=6.5，∠ABC+∠ADC=90°，AB=4，CB=3，求四边形ABCD的面积．
（2）如图2，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，∠OAC=∠ABC．求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；
（3）在（2）的条件下，如图3，已知AD=a,DC=b,AB=3AC，连接BD，求BD2的值．（结果用带有a,b的代数式表示）
发布：2025/5/25 2:0:6组卷：305引用：2难度：0.3 -
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2=CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE=3，试求阴影部分的面积．发布：2025/5/25 1:0:1组卷：3655引用：17难度：0.4 -
3．如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD=∠CAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若BD=1，CD=2，求cos∠CBA的值及EF的长．发布：2025/5/25 1:0:1组卷：818引用：7难度：0.1
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