如图，在矩形ABCD中按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AD于点E；③连接AC，CE．若DE=3，CD=33，则∠ACB的度数为（ ）
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【答案】D
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：241引用：4难度：0.7
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1．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，∠C=90°．
求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．
作法：如图，
①分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；12
②作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E．
所以线段DE就是所求作的中位线．
根据小宇设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PC，QA，QC，DC，
∵PA=PC，QA=，
∴PQ是AC的垂直平分线（）（填推理的依据）．
∴E为AC中点，AD=DC．
∴∠DAC=∠DCA，
又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC=90°，∠DCA+∠DCB=90°．
∴∠ABC=∠DCB（）（填推理的依据）．
∴DB=DC．
∴AD=BD=DC．
∴D为AB中点．
∴DE是△ABC的中位线．发布：2025/5/21 17:30:1组卷：139引用：4难度：0.5 -
2．如图，已知△ABC的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，△APC的面积为 ．发布：2025/5/21 18:0:1组卷：90引用：2难度：0.5 -
3．操作计算：用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：
如图，已知AB为⊙O的直径．
步骤一：作出半径OB的垂直平分线，与⊙O分别交于E，F两点，垂足为D．
步骤二：以ED为半径，在⊙O上依次截取BG=GH=HM=MN=NP=PQ=ED．
步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形BGHMNPQ．
（1）动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知⊙O中作出正七边形BGHMNPQ．要求：不写作法，但保留作图痕迹．
（2）推理计算：若⊙O的半径为1，则的长度为 ，所作出的正七边形BGHMNPQ的周长为 ．ˆEF发布：2025/5/21 18:30:1组卷：51引用：1难度：0.4
