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定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
（1）如图1，在“对角互余四边形”ABCD中，AD=CD，BD=6.5，∠ABC+∠ADC=90°，AB=4，CB=3，求四边形ABCD的面积．
（2）如图2，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，∠OAC=∠ABC．求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；
（3）在（2）的条件下，如图3，已知AD=a,DC=b,AB=3AC，连接BD，求BD²的值．（结果用带有a,b的代数式表示）

【考点】圆的综合题．

【答案】（1）四边形ABCD的面积是9；
（2）证明过程见解答；
（3）BD²的值为10a²+9b²．

【解答】

【点评】

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发布：2025/5/25 2:0:6组卷：305引用：2难度：0.3

相似题

1．如图1，在一平面内，从左到右，点A，D，O，C，B均在同一直线上．线段AB=20，线段CD=10，O是AB，CD的中点．固定点O以及线段AB，让线段CD绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）．
（1）连接AC，AD，BC，BD．
①求证：四边形ADBC为平行四边形；
②当α=90°时，求四边形ADBC的周长；
（2）连接AD．某个时刻，直线AD与线段OD旋转形成的扇形相切于点D，如图2所示，求此时线段OD扫过的扇形面积．
发布：2025/5/25 6:0:1组卷：77引用：2难度：0.4
解析
2．阅读下列材料，并解答后面的问题．
在学习了直角三角形的边角关系后，小颖和小明两个学习小组继续探究任意锐角三角形的边角关系：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.

（1）小明学习小组发现如下结论：
如图1，过A作AD⊥BC于D，则sinB=
AD
c
，sinC=
AD
b
，即AD=csinB，AD=bsinC，于是
=
，即
b
sin
B
=
c
sin
C
，同理有
c
sin
C
=
a
sin
A
，
a
sin
A
=
b
sin
B
，
则有
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
．
（2）小颖学习小组则利用圆的有关性质也得到了类似的结论：
如图2，△ABC的外接圆半径为R，连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠D=∠A，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，
∵sinD=
BC
DC
=
a
2
R
，
∴sinA=
a
2
R
，即
a
sin
A
=2R，
同理：
b
sin
B
=2R，
c
sin
C
=2R，
则有
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=2R，
请你将这一结论用文字语言描述出来：
．
小颖学习小组在证明过程中略去了“
b
sin
B
=2R，
c
sin
C
=2R”的证明过程，请你把“
b
sin
B
=2R，”的证明过程补写出来．
（3）直接用前面阅读材料中得出的结论解决问题
规划局为了方便居民，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一座学校，使它到三个住宅小区的距离相等，已知小区C在小区B的正东方向
3
千米处，小区A在小区B的东北方向，且A与C之间相距
2
千米，求学校到三个小区的距离及小区A在小区C的什么方向？
发布：2025/5/25 6:30:1组卷：296引用：2难度：0.4
解析
3．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．
（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD=CD，且AD∥BC，BC=2AD，则∠B=
．
（2）如图2，在等邻边互补四边形ABCD中，∠BAD=90°，且BC=CD，求证：AB+AD=
2
AC．
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，连结DO并延长分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G，若点E是AC的中点，
ˆ
AB
=
ˆ
BG
，tan∠ABC=
24
7
，AC=6，求FG的长．
发布：2025/5/25 6:30:1组卷：647引用：3难度：0.2
解析