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过点B（1，1）能否作直线m,使其与双曲线x2-y22=1交于P，Q两点，且B是PQ的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
y
2
2
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】解：设过B（1，1）的直线的参数方程为
（t为参数），
代入2x2-y2-2=0，并整理得
t2（2cos2α-sin2α）+2t（2cosα-sinα）-1=0．
由已知|BP|=|BQ|，则t1+t2=0，
即-=0，得sinα=2cosα，
若存在P，Q关于B点对称，则t1t2=＜0．
而sinα=2cosα时，t1t2==＞0，
故这样的对称点不存在，即满足条件的直线m不存在．
x = 1 + tcosα |
y = 1 + tsinα |
代入2x2-y2-2=0，并整理得
t2（2cos2α-sin2α）+2t（2cosα-sinα）-1=0．
由已知|BP|=|BQ|，则t1+t2=0，
即-
2
（
2
cosα
-
sinα
）
2
co
s
2
α
-
si
n
2
α
若存在P，Q关于B点对称，则t1t2=
-
1
2
co
s
2
α
-
si
n
2
α
而sinα=2cosα时，t1t2=
-
1
2
co
s
2
α
-
4
co
s
2
α
1
2
co
s
2
α
故这样的对称点不存在，即满足条件的直线m不存在．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：10引用：1难度：0.5
