我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入《九章算术》中．《九章算术》“方程”章的第一个问题译成现代汉语是这样的：
上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；
上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；
上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗．
求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗．
（1）设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食分别为x斗，y斗，z斗，根据题意可列方程组为：

3 x + 2 y + z = 39

2 x + 3 y + z = 34

x + 2 y + 3 z = 26

3 x + 2 y + z = 39

2 x + 3 y + z = 34

x + 2 y + 3 z = 26

．
（2）下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法．用算筹列出方程组，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．请你参考前两行，补全第三行的算筹图．

上等谷	中等谷	下等谷	斗数
​
​

​（3）利用现代高等代数的符号可以将（1）中方程组的系数排成一个表，
​
这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字替代了算筹．已知矩阵有如下的初等变换：
①用一个非零的数乘矩阵的某一行；
②将一行的k倍加到另一行上；
③交换矩阵中两行的位置．初等变换可以帮助我们解多元一次方程组．
例如，用矩阵的初等变换解二元一次方程组

x - y = 2 ，

x + 2 y = 5

的步骤如下：
第一步：将此方程组的系数写成矩阵：；
第二步：
，
故此方程组的解为

x = 3 ，

y = 1 ．

请你仿照上述方法，补全用矩阵的初等变换解三元一次方程组

3 x - y + z = 4 ，

2 x + 3 y - z = 12 ，

x + y + z = 6

的步骤．
第一步：将此方程组的系数写成矩阵：

．
第二步：
​
故此方程组的解为

x = 2

y = 3

z = 1

x = 2

y = 3

z = 1

．