如图1,若关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a<0)与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0)(x1<0<x2),与y轴交于点C,抛物线的顶点为M,O是坐标原点.
(1)若a=-1,b=2,c=3
①求此二次函数图象的顶点M的坐标;
②定义:若点G在某一个函数的图象上,且点G的横纵坐标相等,则称点G为这个函数的“好点”.求证:二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“好点”.
(2)如图2,连接MC,直线MC与x轴交于点P,满足∠PCA=∠PBC,且tan∠PBC=12,△PBC的面积为13,求二次函数的表达式.

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【考点】二次函数综合题.
【答案】(1)①顶点M的坐标为(1,4);
②二次函数y=-x2+2x+3有两个不同的“好点”;
(2)二次函数的表达式为y=-x2+x+.
②二次函数y=-x2+2x+3有两个不同的“好点”;
(2)二次函数的表达式为y=-
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【解答】
【点评】
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发布:2024/6/27 10:35:59组卷:132引用:1难度:0.2
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1.二次函数y=-x2+2x+8的图象与x轴交于B,C两点,点D平分BC,若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,则AD的取值范围是( )
发布:2025/5/23 16:0:1组卷:2442引用:10难度:0.5 -
2.如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2,与y轴交于点C(0,-5),其中x1,x2是方程x2-4x-5=0的两个根.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;
(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴是否存在点F,使以A,D,E,F四点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,直接写出所有满足条件的点F的坐标;如果不存在,请说明理由.发布:2025/5/23 16:0:1组卷:388引用:4难度:0.3 -
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,6),顶点为D,且D(1,8).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在线段BC上存在一点M,过点O作OH⊥OM交CB的延长线于H,且MO=HO,求点M的坐标;
(3)点P是y轴上一动点,点Q是在对称轴上一动点,是否存在点P,Q,使得以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.发布:2025/5/23 16:0:1组卷:469引用:1难度:0.5