【问题提出】n个m边形最多可以把平面分成几部分？
【问题探究】为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
探究一：n条直线最多可以把平面分成几部分？

n的数量	思考方式	结果与算式
1条直线		2个区域
2条直线	要使分成的区域尽最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域；	1+1+2=4个区域；
3条直线	如图1，将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，这样就多了2+1=3个区域，所以3条直线至多将平面分成7个区域；	1+1+2+3=7个区域；
4条直线	如图2，4条直线时，如图2，将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和4-2=2条线段，这样就多了2+2=4个区域，所以三条直线至多将平面分成11个区域；	1+1+2+3+4=11个区域；

结论：n条直线最多可以把平面分成

（

1

2

n²+

1

2

n+1）

（

1

2

n²+

1

2

n+1）

部分．
探究二：n个圆最多可以把平面分成几部分？

n的数量	思考方式	结果与算式
1个圆		2
2个圆	为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．	2+2×1=4个区域
3个圆	为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．	2+2×1+2×2=8个区域

用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程并且画出相应的图．

结论：n个圆最多可以把平面分成

（n²-n+2）

（n²-n+2）

部分．
探究三：n个三角形最多可以把平面分成几部分？

由上面的分析，当画第n（n≥2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n-1）个三角形的各两条边相交，对于每个三角形，因为1条直线最多与三角形的2条边相交，所以第n个三角形的每条边最多与前面（n-1）个三角形的各

2

2

条边相交，共可产生

（n²-n）

（n²-n）

（个）交点，即增加

（n²-n）

（n²-n）

部分．
【一般规律】
n个四边形最多可以把平面分成

（4n²-4n+2）

（4n²-4n+2）

部分；
n个m边形最多可以把平面分成

（4n²-4n+m-2）

（4n²-4n+m-2）

部分．