已知函数f（x）=xlnx-
1
2
x²+（2a-1）x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）已知函数g（x）=
e
x
x
-f′（x）有两个不同的零点x₁，x₂，且x₁＜x₂.证明：x₂-x₁＜
4
a
2
-
2
a
-
1
2
a
-
1
．

【答案】（1）当a≤

时，f（x）无极值点；当a＞

时，f（x）有2个极值点．
（2）证明见解析．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：695引用：4难度：0.1

相似题

1．已知函数f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的导函数为f'（x）．
（1）当a=1时，求f'（x）的零点；
（2）若函数f（x）存在极小值点，求a的取值范围．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：279引用：8难度：0.4
解析
2．若函数
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：123引用：4难度：0.5
解析
3．定义：设f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是函数f'（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的对称中心为（1，1），则下列说法中正确的有（　　）
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函数f（x）既有极大值又有极小值
C．函数f（x）有三个零点
D．过
（
-
1
，
1
3
）
可以作两条直线与y=f（x）图像相切
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：181引用：7难度：0.5
解析

已知函数f（x）=xlnx-12x2+（2a-1）x（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）已知函数g（x）=exx-f′（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2.证明：x2-x1＜4a2-2a-12a-1．